宜兴教育云

                    借助几何直观   突破解题难点

                                                                                           ——一道思考题的教学感悟

                                                                            宜兴市陶城实验小学   蒋 玲

【课堂回放】

出示思考题：一个长方体，如果高增加2厘米，就变成一个正方体。这时表面积比原来增加56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？

指名学生读题。

师：根据条件仔细观察直观图，你知道原来的长方体有什么特点吗？

生：一个长方体，高增加2厘米，就变成一个正方体。也就是说，原来长方体的长和宽相等，底面是一个正方形。

生1：增加了这个小长方体的前、后、左、右和上面这5个面。

生2：不对，应该是4个面，也就是前、后、左、右的4个小长方形。

师：为什么你觉得没有增加上面这个面呢？

生1：高增加2厘米，得到的正方体与原来的长方体相比，上下这一组对面的形状和大小没有变化，只是上面的这个面向上平移了2厘米，所以，增加的部分不含上面。

生2：从图上可以看出，高增加后得到的正方体可以分成两部分，一部分是原来的长方体，另一部分是与它底面相等，而且高是2厘米的长方体。这也就相当于用两个底面完全相同的长方体拼成了一个正方体。这样，表面积增加的部分不含重叠起来的这两个正方形。

师：明白了吗？我们一起来看（课件动态演示）

师：高增加2厘米，像这样，长方体变高了，原来长方体的上面向上平移，就是现在这个正方体的上面，所以，高增加后得到的正方体与原来的长方体比较，表面积就多出了这样4个小长方形。

师：根据“这时表面积比原来增加了56平方厘米”这个条件，你能想到什么？

生：增加的4个长方形的面积之和是56平方厘米。

师：想一想，能求出什么？

生：可以求出一个小长方形的面积。

师：怎样求呢？说说你的想法。

生：这4个小长方形是大小完全一样的，每个小长方形的面积就是56÷4=14（平方厘米）

师：是的，这4个小长方形的长相等，宽也相等，长就是正方体的棱长，宽是2厘米，还能求出什么？

生1：小长方形的面积是14平方厘米，宽是2厘米，所以小长方形的长是14÷2=7（厘米）

生2：这个7厘米就是正方体的棱长，也是原来长方体的底面边长。

生3：还可以求出原来长方体的高是7-2=5（厘米），原来长方体的体积就是7×7×5=245（立方厘米）

生4：我有不同的想法。在增加的小长方体中，把前后左右这四个面展开，就得到一个高2厘米，面积是56平方厘米的长方形。

师：这是个很不错的想法，说说看你的解题思路。

生：展开后长方形的长是底面周长，宽是2厘米，面积是56平方厘米，可以求出展开后的长方形的长是56÷2=28（厘米），每个小长方形的长是28÷4=7（厘米）。也就是原来长方体的底面边长是7厘米，高是7-2=5（厘米），体积就是7×7×5=245（立方厘米）

根据学生回答，课件动态演示把增加的表面积展开的过程图。

师：比较上面的两种解法，有什么相同和不同？

生1：第一种方法是先求出增加的每个小长方形的面积，再求出每个小长方形的长；第二种方法是先把4个小长方形展开，再求展开长方形的长，然后根据展开后长方形的长求出每个小长方形的长。

生2：两种方法都要根据长方形的面积计算公式，用“长方形的长=长方形的面积÷宽”这个关系去求长方形的长。

【课后思考】

    这道思考题看似简单，但却有着令人想不到的难点：需要学生想到原来长方体的底面是一个正方形，并由此推得表面积增加的部分是4个面积相等的长方形。这是学生进一步展开推理、确定解题思路的逻辑前提，也是解决问题的关键，但就是这种成人看来理所当然的事情，对学生来说并不那么简单，他们中有相当一部分人不能清晰地想象和理解“原来长方体的底面边长”、“正方体的棱长”、“小长方形的长”这三者之间的等价关系。为此，教学时，我借助多媒体直观演示，动态呈现高增加2厘米后长方体表面积的变化过程，增进了学生对图形变换的直观感知，为学生理解题意、寻求数量关系建立起更直观、更便于想象和推理的表象，不仅调动了学生的求知欲，也使他们的思考过程从复杂无序变得清晰而有序，突破了思维难点。在“拨笋”式的一步步直观演示下，学生想出了两种方法来解决问题。在这一过程中，图形直观为学生的想象、推理、顿悟提供了很好的支撑，使他们能有序、有效地展开思考，逐步逼近问题的本质，找到解决问题的突破口。