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【摘要】在教学的过程中，应该更加注重把探索、概括常见的数量关系的活动交给学生，组织学生有效地进行数学讨论活动。只有学生将自己观察到的表象不断提出质疑和思考，才能使得每一个思维节点得到聚焦和放大。

【关键字】常见的数量关系、深化数学思维、知识建构

【正文】

[课前思考]本节课的重难点应该在于，使学生理解并掌握生活中常见的两种数量关系。理解“单价”和“速度”的概念，它们使用的都是复合单位，通过对“单价”、“速度”改写，使学生初步理解复合单位的意义。但是复合单位的理解，对于四年级的小学生来说是比较困难的，所以教师应该通过巧妙设计，努力让学生亲身经历数学知识从表象到抽象的过程，尊重学生的认知发展，从学生的需求出发，不断调整适合学生的教学设计，让学生学有所得。

[教学过程]                        

一、谈话导入

引导：在我们以前的学习中，解决过许许多多的问题，也遇到过许许多多的数量关系，掌握这些常见的数量关系，对于我们的学习大有益处。今天我们就一起来探索常见的数量关系。（板书课题）

二、创设情境，感受数量关系
1.认识单价。
(1)出示例2

提问：有两位同学去超市购买文具，仔细观察，你从图中得到了哪些信息?
这里，钢笔和练习本的单价各是多少吗?

说明：购买一件商品所需要的钱，叫作这种商品的“单价”，像题目中“钢笔每支12元”是钢笔的单价，“练习本每本3元”是练习本的单价。

追问：除了“每支12元”、“每本3元”，单价还可以是——“每箱x元”、“每盒x元”……

(2)说明：其实，单价在数学上我们是这样表示的——每支12元可以写成“12元/支”,(板书)这个新的单位名称读作“元每支”，连起来就是钢笔单价是12元每支。

学生集体读一读。
提问：练习本单价又可以怎样表示呢?自己试着写一写、读一读。
交流：你是怎样写的? (教师板书)

哪位同学来读一读? (指名学生回答后，再集体读一遍)
追问：“12元/支”表示什么意思?“3元/本”呢?

（3）做“练一练”第1题第（1）小问。

提问：现在老师要考考你们，能不能正确读出单价，请看题，每套运动服218元，可以怎样表示呢？

学生填空,交流结果,并要求读一读单价。
2.构建总价与单价、数量之间的数量关系。
呈现表格

引导：总价表示购买商品一共用去多少钱。(板书：总价)。现在请同学们在课本的表格里先填写已知条件,再独立计算总价是多少。

学生独立完成,教师巡视。
交流：你是怎样填表的?(呈现表内结果)两种商品的总价是怎样列式计算的，结果是多少? (板书算式)
提问：根据上面的计算，单价、数量和总价之间有什么关系?
指出：从解决上面实际问题的计算中可以发现，总价等于单价乘数量。(板书：总价=单价x数量)这是生活里常见的一种数量关系。
提问：对着这个数量关系思考一下,当我们已知总价和单价可以求得什么，要怎样求?假如要求单价，需要知道什么量，又要怎么求呢? (板书：数量＝总价÷单价单价＝总价÷数量)

追问：求总价为什么要用单价乘数量呢？你能结合题目中的数据，根据乘法的含义具体地来说一说吗？
3.小结关系。
小结：同学们是善于思考和发现的，通过初步的探索这么快就发现了一个常见的数量关系，其实像这样的关系在生活中还有很多，我们一起来看。

三、自主探索，感悟数量关系
1.认识速度。
（1）出示例3主题图,让学生了解条件。
提问：你从题里知道了哪些信息?
说明：单位时间内行驶的路程我们称之为速度，这里的单位时间可以是——每小时或每分钟、每秒钟等，题目中的每小时行260千米是列车的速度，每分行200米是自行车的速度。速度也可以用新的写法表示，你能仿照着单价的表示方法，写出速度的表示方法吗？

（指名学生上台板书：每小时行260千米——“260千米/小时”，每分行200米——“200米/分”）。

边修改板书边讲解：其实，为了书写简便，“260千米/小时”我们一般写成“260千米/时”（修改板书：260千米/小时260千米/时）
提问：你能读一读这里表示的两个速度吗?

(指名学生读一读，明确读法再集体朗读一遍)
追问：现在谁能再来说一说260千米/时、200米/分各表示什么意思?

（2）做“练一练”第1题第（1）小问

提问：你能仿照着写出狮子奔跑的速度并读一读吗？

学生独立完成，组织全班交流。

2.认识路程与速度、时间之间的关系。
出示表格，让学生里有哪些项目。

引导：请大家填写速度、计算路程，边计算边思考，看看你有什么发现。
学生填表、计算，教师巡视。
交流：你是怎样填表的?(呈现表内结果)

路程是怎样计算的? (板书算式和得数)
路程与时间、速度之间有什么关系?(板书：路程=速度×时间)
引导：大家发现了生活中另一个常见的数量关系：路程＝速度x时间。

你能举例说说符合这一关系的例子吗？同桌互相讨论一下。

通过交流明确：时间＝路程÷速度  速度＝路程÷时间（板书：时间＝路程÷速度  速度＝路程÷时间）

3.回顾反思。
提问：再回顾一下,你从例3里又发现了什么?
指出：我们通过解决求路程实际问题的计算，发现路程＝速度×时间，根据这个数量关系，还能推导出其他两个数量关系式。

四、回顾并交流体会

交流：回顾上面的学习过程，你有哪些收获和体会?
指出：大家通过解决问题有许多收获和体会，知道了总价=单价×数量，路程=速度×时间都是生活里常见的数量关系；大家还通过这两个数量关系，分别推出了相关的数量关系式；明白了在解决问题的过程中,应该学会总结和应用数量关系，用这些数量关系可以帮助我们解决一些生活里的实际问题。

五、巩固理解,学会应用
1.完成“练一练”。

做“练一练”第2、3题
让学生独立解答，然后交流并板出算式、得数。
交流:第2题应用了什么数量关系?第3题呢?
说明:现实生活里有许多实际问题，可以应用常见的数量关系解决。

2.  做练习五第7、8题。
提问:第7题已知什么数量,要求什么数量?第8题呢?
指名学生说一说已知的量和要运用的数量关系，再独立解答。
交流:第7题是怎样解答的? (板书算式、结果)能根据题目中的条件说说为什么用除法吗?
第8题怎样解答呢?你是怎样想的?

说明:在解决实际问题的时候，我们应该要先理清题里的条件和问题，想一想这一题应该运用什么样的数量关系，选择合适的方法解答，先思考再下笔才能落笔有神。

3.  做练习五第11题。

学生独立解答,指名板演。
交流:你是怎样想的?解答时用到了哪些数量关系式?
指出:虽然这道题中，有两个不同的速度和两个不同的时间，但是甲乙两地之间的路程是不变的。我们可以根据前两个条件,应用路程＝速度x时间，求出甲、乙两地的路程，再利用求得的路程和题中已知的返回时间，求得返回时平均速度。

六、全课总结
提问:这节课你有哪些收获?把你的收获和大家分享。

[教学感想]

1.  重视学生已有知识经验

丰富的经验是理解概念的前提，死记硬背的概念含义往往不能让学生领会概念的内涵。

在学习这节课之前，学生已经接触并解决过许多实际问题了，而本节课中的两个数量关系，它们都可以统一概括为“每份数×份数=总数”这一数量关系，这在之前的学习中也遇到过。而学习“单价”所营造的购物场景在日常生活中也时常发生，同时在学生也在生活中积累了一些关于跑步、走路、坐车等一系列丰富的比快慢经验，虽然这些经验都不叫原始、初步，但都是学习本节课的重要资源。学生不是一张白纸，他们有着在日常生活和以往的学习中，已经积累和形成的一定的知识经验，有时虽然他们不能很好地解题，却知道买多少物品要花多少钱、从家到学校要走多久走多远，这些从日常生活中获得的经验，可以迁移到数学学习中，从而促进对数学知识的理解和掌握。所以，在教学时，教师应该能重视学生的这些经验，帮助学生将新知吸收、归入到已有的认知结构中，完善学生的知识网络。教师在教学中应充分尊重学生已有的知识经验和生活经验，将新、旧知识相互联系、相互促进，引导学生不断改造已有的经验，提炼新的概念，探究新的方法，从而完善学生的认知结构，帮助学生形成知识的系统框架，促进知识、能力和素养的逐步提升。

小学生学习的数学是生活中的数学，数学教应联系学生生活，注重现实体验，学习的环境不应该是脱离真实问题及生活实践的，学习的知识应该对学生的成长有意义、有助力。如果学生学习的知识与现实、与生活脱节，那即使书本上的知识学得再好也是白费。

2.深化数学思维

其实学生在日常生活中已经了解了许多常见的数量关系，他们也知道“单价”、“速度”等复合单位，仅仅是做题肯定难不倒他们，甚至是不用通过这节课的学习，直接出示题目，他们也能够高质量地完成。但是他们的认识仅仅停留于表层而已，如果把数量关系直接告诉学生，学生并不能感受到它的意义，又如何做到学以致用？要知道，学习数学的意义，并不单单是教会学生去做题、去使用数学，而是要培养学生的数学思维。部分待发展学生的出现，往往是在学习基础概念的时候，不扎实基础，不去思考，不去探索而导致的，这部分同学的学习兴趣并不高，往往学了一段时间后就很难坚持，到最后“雪球”越滚越大，问题越来越多，以至于想学却无从下手。真实的课堂肯定不只是行云流水，学生遇到困难和挫折，才会触发合作互学、思考再造的内在需求，而教师应该做的是引导学生进行思考。

所以，丰富学生对“单价”、“速度”等较为复杂的概念的体验，进一步理解其含义，是教学时需要重点加强的。学生对“速度”、“单价”的认知，如果仅仅停留在字面意义上，那么他们就根本不会应用其所对应的复合单位，例如在一道“飞机飞行的速度是（）”的问题中，有学生出错在漏写单位或者写错单位上，这其中可能有极少数同学是因为做题时马虎大意而造成的，更多的学生应该是能力的缺失，他们没有正确理解和掌握复合单位。在教学的过程中，有部分学生其实并不能完全理解这些常见的数量关系，但是在做题时，他们却能根据当堂课所布置的习题中的数据进行解答，这是一种投机取巧的手段。而这部分学生，在最后期末的综合练习中，在“解决实际问题”这一大题中往往不会分析数量关系，看到数字就乱用加减乘除，只想着得到一个数字，大面积失分的人不在少数，这也体现了这部分学生只学到了“鱼”而没有学到“渔”。“常见的数量关系”只是“解决实际问题”中的冰山一角，数学概念十分抽象，对于小学生尤其是待发展学生来说，联系生活建立与新知之间的联系是重要手段。在教学中，应该尽量体现现实性，不单是习题，还有情境引入、例题等等，尽可能将现实性体现出来，让学生能感觉到在生活中处处隐藏着数学，在数学中处处体现着生活，帮助学生从身边入手，建立核心概念。

数学知识其实是一个大的整体，知识与知识之间或多或少都存在着一定的联系，牵一发而动全身，如常见的数量关系与后续的相遇问题也有着紧密的联系。这一节课为什么会放在“三位数乘两位数”这一单元中，也是因为常见的数量关系总是与情境、计算相关联，在本节课的有一追问中，提到“求总价为什么要用单价乘数量呢？你能结合题目中的数据，根据乘法的含义具体地来说一说吗？”，这就将新旧知识串联到了一块，体现出乘法的意义，这样通过本节课的学习，也能够进一步加深对乘法的理解，二者相得益彰。顺向思维是开展教学工作时的常态思维，而对概念、法则、定律等知识仅有顺向思维教学是不够深刻的，还需要教师具有逆向思维教学的意识与能力，在教学时，放手让学生自己去逆推出其他的数量关系，同时在后续的联系中让学生从不同的角度思考、探究，促进了学生的思维发展，学生摆脱僵化、刻板的套路，克服思维定势，才能激发学习的潜能，获得对知识的新体验与新认知。

3.建构层次分明的概念

本节课主要经历了以下几个层次的活动：首先，借助生活中常见的购物情境，学生很容易就能进入学习状态，让他们体会到数学和生活的联系，反而会让他们觉得学习数学其实没有那么难；接着，在学生的生活经验被唤醒后，解释“单价”与“速度”的概念含义，帮助学生初步认识和感知复合单位；然后，引导学生探索得出“单价×数量=总价”和“速度×时间=路程”这两个乘法数学模型，组织学生有效地进行数学讨论活动，并在师生互动、生生活动的交流讨论中逆推导出其余两个数量关系，只有学生讲自己观察到的表象不断提出质疑和思考，才能使得每一个思维节点得到聚焦和放大；最后，通过练习、解决实际问题等概念应用活动，使学生在不同层次的联系中感受到数量关系以多种形式存在于生活与数学现象之中，也能在联系中锻炼“三位数乘两位数”的计算能力，感受到解决这类问题的思考方法，从而深入理解概念。