宜兴教育云

【教学片断】

师：（出示右下图）请用分数表示图中的涂色部分。

生：（几乎是异口同声）9/16。

师：都是这样想的吗？确定吗？

生：（很大声地、坚定地））是的，确定。

师：为什么是9/16？说说你们的想法。

生1：只要把涂色部分绕一个顶点旋转，就正好和9格一样大，所以是9/16。

生2：如果把涂色部分取下来，放正，能和其中的9格完全重合，所以我认为也是9/16。

师：办法可行吗？

生：可行。

师：既然大家一致认为可行，我们就来验证大家的猜想。（生从信封里取出一大一小两个正方形，先按照原图叠放，再用生1和生2的办法检验）

师：结果怎样？

生：（你看我，我看你，疑惑的表情）比9格大了一点点。不是9/16，应该比9/16大。

师：刚才大家非常确定地说是9/16，现在操作后发现不是9/16，问题出在哪儿呢？

生：（反复比较后，恍然大悟，边说边演示）我知道了，涂色正方形的边长正好是三角形的斜边，旋转后，斜边是大于直角边的，所以整个涂色部分会比9格多一点。（其余学生也都露出恍然大悟的表情，纷纷点头表示赞同）

师：不是9/16，那应该是多少呢？谁有更好的转化方法？先仔细观察图形，静静地想一想，再把你的想法在小组里交流。（学生讨论热烈）

生1：（边说边演示）可以将上面涂色部分的直角三角形平移到下面，把左面涂色部分的直角三角形平移到右面，这样涂色部分正好是10格，约分后得5/8。除了把直角三角形平移，也可以把它旋转，结果都是5/8。

生2：（边说边演示）我是这样划分的。除中间的4大格外，旁边的涂色部分可以分成4个直角三角形，这4个直角三角形合起来是6格，加上中间的4格，也是10格，结果也是5/8。

生3：（边说边演示）我是受生2的启发，不过我看的是空白部分。空白部分也是4个直角三角形，合起来占6格，这样涂色部分就占10格，约分后也是5/8。

师：真是了不起！一下子想出了这么多转化的方法。解决这个问题的时候，可以从涂色部分入手，也可以从空白部分入手。虽然思考的角度不同，但都是化复杂为简单。转化中还要灵活选用合适的平移、旋转的方法，像这道题简单的旋转可不能解决问题。

【分析】

转化策略是苏教版小学数学五年级下册第七单元的教学内容，重点是让学生在解决问题的过程中，初步领会转化的过程和特点，体会转化的价值，进一步增强解决问题的策略意识。难点是引导学生针对具体问题寻找合适的转化方法。此习题的有趣就在于它不仅便于突出重点，突破难点，还对学生的思维由感性走向理性、内隐走向外显、模糊走向清晰、肤浅走向深刻，单一走向多元做出了巨大的贡献。让我们一起重温教学片断中学生的思维历程，看看学生的思维是怎样一步步实现蜕变的。

一、依经验直观判断—感性中的浪漫

此习题具有良好的“伪装性”。乍一看，大正方形里装着个小正方形，太容易了，学生凭已有的知识经验和解题经验几乎是不假思索地想到只要找准涂色正方形的一个顶点，稍稍旋转一下即可，答案肯定是9/16，学生激情高涨，异口同声，确信无疑。当老师尝试着追问“确定吗？”，学生也是很大声地坚定地给予肯定，丝毫没有怀疑。个别思维品质好的学生可能还没来得及细想，就已经淹没在这“一边倒”的声浪中。这就是教学片段中开始的一幕。笔者也曾经在多个班级做过相同的试验，结果如出一辙，基本上都认为是9/16。

对于为什么是9/16，两个学生也能结合头脑中想象的图形变化过程有根有据的加以推理，清晰的描述，显得底气十足，貌似合情合理。

此时学生完全是凭着以往的学习经验很感性地下了判断，思维的含金量非常小，加之图形的“障眼法”，让他们感觉不费吹灰之力就已经品尝到了成功的甜蜜，得意之情洋溢在每一张脸上。这时候，学生的思维是一种直觉思维，是对当前所发现的事情和出现的事物作出的第一反应，其本质是感性的、肤浅的，从众的成分很高，暂且叫做“感性中的浪漫”吧。

二、借操作质疑反思—理性中的骨感

怎样让学生意识到自己的眼睛和大脑都欺骗了自己呢？直观的操作是最有效的载体。小学生正处于形象思维继续发展、抽象思维开始发展的阶段，他们应用策略解决问题，往往需要形象直观的帮助。每一个猜想都要经得起检验，让学生借助动手操作，去验证自己的猜想，是符合儿童特点和发展规律的。

当学生从信封里取出图形进行操作的时候，信心满满地以为会和9格完全重合，但操作的结果却让他们大吃一惊。“怎么回事？竟然比9格多了一点。”“我的也是，是不是没摆好？重来一次试试。”“真的不是9/16，哪里出问题了？”课堂里充满了疑惑的声音，学生你看看我，我看看你，不再坚持原先的答案。

当浪漫的猜想遭遇残酷的现实，问题和困惑油然而生，质疑和反思引发他们重新审视手中的图形。操作的结果粉碎了原本固若金汤的结论，旧的平衡被打破，新的平衡即将建立，学生开始自觉地反思“问题出在哪儿了呢” 。

片段中，教师没有过多的语言，只是让学生充分暴露真实的思维过程，然后捕捉有利时机，顺势而导，在“观察-猜想-验证-再观察-质疑-反思”等一系列的思维活动中实现对原先认知的“回头看” ，质疑反思的过程开始有了“理性的骨感”的味道。

三、设讨论分析比对—重构中的升华

对原先认知的否定必然促使学生转换思路，带着全新的视角重新去审视图形。经历了先前的思维历程，学生会更加关注图形的结构、大小正方形的关系，会更加慎重地思考合适的转化方法。在这种恰到好处的“愤”、“悱”状态下，教师抛出问题“不是9/16，那应该是多少呢？谁有更好的转化方法？”先静思，后交流，诱发学生的思维向纵深挺进。教师适时给学生提供了探索交流的空间，大家想方设想，另辟蹊径，在“数形结合”思想的熏陶下深入进行转化的思考，在独立思考的基础上发表自己的独立观点，在沙龙式的讨论中不断与他人进行思维的碰撞，在分析比对中点燃灵感的火花。

转化离不开推理，转化过程往往是推理过程。数学推理是一种富有挑战性的深层智力活动，是学生对数学对象的深刻的理性认识过程。在前面的转化学习中，多次采用割补法平移和旋转图形，这种尚处于活跃状态下的转化经验能指引学生及时调整转化的方向和方法。随着观察角度的变化，观察视野的拓宽，灵感火花的闪现，建立在割补法基础上的平移、旋转等精彩纷呈的转化方法也就自然诞生了。“拨乱反正”的思维历程最终迎来“柳暗花明”，课堂的高潮由此产生，创新的精神由此孕育，推理的能力得到提升，思维的品质得到培养，真是了不起的改变！

当学生经过自己的努力真正摘取成功的果实时，思维的发展和内心的成长正在悄悄地发生变化，可能每个学生发展的速度和程度各不相同，但可以肯定的是都在这个循序渐进的过程中扎扎实实地迈进了一步，思维在重构中焕发出理性思辨的光芒。

【启示】

纵观教学片断中学生呈现的思维历程，先是感觉经验的参与，再到质疑反思，最后到理性思辨，学生的思维由最初的肤浅攀升到深刻，源于教师对适宜的教学材料的深度挖掘，对材料思维结构的认真研究和合理提取，并且找准了培养和发展学生数学思辨能力的生长点。

“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。”学生思维能力的提升需要学生自己去“悟”，教师能做的就是激励、唤醒和鼓舞，提供给学生充足的时间和空间，让学生自觉地思考与探究，自发地质疑和思辨，自主的实践与反思，实现思维品质的提升。